Сто­ро­на сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­это­му от­ку­да Пусть

Объём приз­мы равен

Объём от­се­чен­ной приз­мы равен от­ку­да

Ответ: 30.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AH к сто­ро­не DC. Для этого про­длим сто­ро­ну DC. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая A₁H пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DH (по­сколь­ку про­ек­ция A₁H на плос­кость ос­но­ва­ния это AH). Сле­до­ва­тель­но, пря­мая A₁H яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от точки A₁ до пря­мой CD. Най­дем AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Обо­зна­чим вре­мен­но ребро куба за 5x, тогда За­ме­тим, что пря­мые MN, B₁C и A₁D па­рал­лель­ны, по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от любой точки пря­мой B₁C до плос­ко­сти MNA₁D.

Пусть точка O  — се­ре­ди­на B₁C, точка H  — се­ре­ди­на MN и точка K  — се­ре­ди­на A₁D. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OT на пря­мую HK. Он пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой HK по по­стро­е­нию и лежит в плос­ко­сти BAD₁C₁, пер­пен­ди­ку­ляр­ной к пря­мой A₁D (так как от­рез­ки A₁D и AD₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны как диа­го­на­ли квад­ра­та, а от­ре­зок A₁D пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру C₁D₁, по­сколь­ку ребро C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ADD₁A₁), зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен и A₁D, а по­то­му (по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти) и всей плос­ко­сти MNA₁D. Сле­до­ва­тель­но, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

Изоб­ра­зим от­дель­но плос­кость ABC₁D₁. По тео­ре­ме Фа­ле­са

от­ку­да

и

Далее, тогда

и

Зна­чит,

Ответ: 2124.